모집단 분포와 데이터 수량화 정리법

(1) 모집단 분포의 산포 원인

대량생산의 제조과정에서 아무리 똑같은 조건 하에서 만들어진 제품이라 하더라도 그 품질특성을 조사해 보면 반드시 산포가 존재한다.

제조공정조건의 4요소인 4M(Man, Machine, Material, Method)을 동일 조건으로 하는 즉, 동일한 작업자의 배치, 사용하는 원재료 품질의 일정한 유지, 기계·설비의 동일조건 유지, 작업방법의 동일한 유지, 측정기의 엄밀한 관리 등 공정 전반에 걸쳐 표준화에 의한 공정관리를 까다롭게 해도 산포 를 작게 할 수는 있으나 산포를 완전히 없앨 수는 없다.

산포가 발생하는 원인은 대략 다음과 같이 두 가지로 분류할 수 있다.

① 우연원인(chance cause) → 산포가 우발적으로 발생하는 것으로, 찾아서 제거시키기 어려운
   원인이며 다음과 같은 것들이다.

㉮ 원재료나 설비 등 표준을 정해도 그 허용범위 내에서의 변동

㉯ 작업표준을 정해도 그 허용범위 내에서의 변동

㉰ 측정기의 정밀도, 측정시에 발생되는 측정오차

② 까닭이 있는 원인(assignable cause) → 산포를 일으키는 원인을 찾아내어 제거할 수 있는 원인
   으로, 산포를 일으키게 하는 요인으로는 다음과 같은 것들이다.

㉮ 표준이 구비되어 있지 않아서 작업내용이 통일되지 않아 발생되는 변동

㉯ 작업자가 표준대로 작업하지 않아서 발생되는 변동

㉰ 설비의 불량이나 고장으로 인하며 발생되는 변동

㉱ 작업상의 잘못으로 발생되는 변동

산포를 줄이기 위해서 우선 까닭이 있는 원인을 제거하도록 노력하여야 한다.

(2) 도수분포의 수량적 표현

위에서 검토한 바와 같이 어떤 품질특성을 측정한 데이터는 반드시 산포가 있는 어떤 분포(distribution)에 따르며, 이 데이터가 얻어진 원래의 모집단도 어떤 분포에 따르고 있다고 생각할 수 있다.

일반적으로 우리의 관심대상인 모집단의 정보를 얻고자 할 때 가장 먼저 알고자 하는 내용은 다음과 같다.

① 모집단 분포의 형태

② 모집단 분포의 중심위치

③ 모집단 분포의 산포

※ 분포의 모양

앞에서 모집단 분포의 형태를 알아 볼 수 있는 도수분포에 대하여 공부하였는데, 분포의 모양에 대해 좀 더 구체적으로 알아 보기로 하자.

(1) 분포의 모양 형태

분포의 모양 형태로는 일반형, 이빠진형, 경사형, 절벽형, 고원형, 두 개의 산형, 소도(작은 섬)형 등의 형태가 있으며, 좌우 대칭인 종모양의 일반형 이외의 것은 어떤 문제를 포함하고 있는 것이다.

(2) 분포의 모양 척도

(가) 비대칭도

비대칭도는 분포가 평균치를 축으로 하여 대칭인가의 여부를 결정하는 척도를 말하며 식 (5)와 같이 구하는데, 비대칭도는 로 표시한다.

(5)

여기서, 는 급에 속하는 도수, 는 그 급의 대표치, 는 급의 수이다.

이면 좌우대칭, 이면 좌의 방향으로, 이면 우의 방향으로 기울어져 있는 상태를 나타내 보인다.

(나) 첨 도

첨도는 분포의 뾰족한 정도를 나타내는 척도로서 식 (6)과 같이 구하며, 또는 의 기호로 나타낸다.

(6)

어떤 학교의 100명의 학생들에 대한 점수를 다음과 같이 도수분포 보조표로 나타내었다. 히스토그램의 분포의 정도를 알고 싶다. 첨도(kurtosis)를 구하시오.

〔풀이〕

※ 중심적 경향의 척도

(1) 분포의 중심 위치를 나타내는 척도

분포의 중심 위치를 나타내는 척도로서 모집단에 대한 값인 모수와 시료에서 얻어진 값인 통계량으로서는 다음과 같다.

① 모수(population parameter)로서의 중심적 경향의 척도

모집단의 모습을 결정하는 정수로서 분포의 중심 위치를 나타내는 척도로는 모평균( )이 해당하며, 모집단에 대한 평균치를 나타낸다.

② 통계량으로서의 중심적 경향의 척도

모집단에 관한 정보는 모집단으로 부터 취한 시료를 관측한 데이터에서 추측한다. 시료를 관측한 데이터와 그 데이터의 값을 통계량이라 하며, 통계량으로서는 분포의 중심위치를 나타내는 것과 분포의 산포를 나타내는 것으로 구분된다.

통계량의 값은 시료를 뽑을 때마다 다른 값이 되나, 그것은 확률의 법칙에 따른다. 즉. 하나의 확률 분포에 따른다. 분포의 중심 위치를 나타내는 척도의 통계량으로는 산술평균, 중앙치, 모우드, 미드레인지, 조화평균, 기하평균, 가중평균 등이 있다.

(2) 분포의 중심 척도의 계산방법

통계량으로서의 분포의 중심 척도의 계산방법은 다음과 같다.

(가) 산술평균 :

시료평균치에는 산술평균, 기하평균, 조화평균, 가중평균 등이 있으나 보통 평균치라 하면 산술평균을 뜻한다. 데이터로부터 계산된 평균의 모집단의 평균치(모평균)와 구별하기 위하여 시료평균이라고도 한다.

개의 데이터의 산술평균( )은 식 (7)과 같이 된다.

(7)

(나) 메디안(median, 중위수) :

는 틸드(혹은 wave)로 읽으며 홀수인 경우에는 중앙에 위치한 데이터, 짝수인 경우에는 중앙에 위치하는 두 개의 데이터의 평균치를 말한다.

(다) 미드레인지 :

미드레인지(mid-range) 는 1조의 데이터 중 최대치( ; Largest Value)와 최소치( ; Smallest Value)의 평균치를 말하며 식 (8)과 같이 된다.

(8)

(라) 모우드(mode, 최빈치) :

모우드는 최빈수로서 도수표에서 도수(빈도수)가 최대인 곳의 대표치를 말한다.

(마) 기하평균 :

기하평균(geometric mean) 은 다음 식으로 구해진다.

(9)

(바)조화평균:

조화평균(harmonic mean) 은 다음 식으로 구해진다.

(10)

(사) 가중평균

가중평균(weighted mean) 은 실무에서 많이 쓰이는 방법으로서 금액기준 가중평균 또는 생산량기준 가중평균 등의 방법으로 주로 쓰인다.

예를 들어 A라인의 생산량이 100톤, 설비종합효율이 85%, B라인의 생산량이 200톤, 설비종합효율이 80%인 경우 A, B라인 전체의 설비종합효율을 생산량 기준으로 가중평균을 구해 보면 다음과 같이 된다.

다음의 측정 데이터가 있다고 하자.

32.8 28.2 33.3 34.0 31.3 28.4 29.6 30.4 31.3

(1)산술평균, (2)중앙치(메디안), (3)모우드(최빈치), (4)미드레인지, (5)기하평균을 각각 구하여라.

〔풀이〕

(2) 메디안(median, 중위수) : 작은 수치부터 차례로 나열하면 5번째가 중위수

로서

(4) 모우드(mode, 최빈치) : 31.3이 2개이므로

※ 산포의 척도

(1) 분포의 산포를 나타내는 척도

(가) 모수로서의 산포의 척도

모분산(population variance)인 (모집단의 분산), 모표준편차(population standard deviation)인 (모집단의 표준편차)가 모수로서 산포를 나타내는 척도이다.

(나) 통계량으로서의 산포의 척도

통계량으로서 산포의 척도로서는 변동(또는 편차제곱합이라고도 함), 시료분산, 불편분산, 시료표준편차, 불편분산의 제곱근, 변동계수, 상대분산, 범위 등이 있다.

(2) 분포의 산포를 나타내는 척도의 계산방법

(가) 편차제곱합 또는 변동 :

편차제곱합 이란 편차에 대한 제곱의 합으로서, 개개 측정치 와 시료평균 간의 편차의 제곱을 모든 데이터에 대해서 합한 것이다. 즉,

(11)

그러나 실제 계산에는 이래 증명의 결과로부터

(12)

를 사용하는 것이 편리하다. 여기서

(13)

을 수정항(correction term)이라 부르고, 로 표기한다.

〔증명〕

(나) 시료분산(Variance) :

시료표준편차의 제곱을 말하는데, 편차제곱합을 데이터의 수로 나누어 데이터 1개당의 산포의 크기로 표시한 것이다.

(14)

(다) 시료표준편차(standard deviation) :

분산의 제곱근으로 데이터 1개당의 산포를 평균치와 같은 단위로 나타낼 수 있는데 최근의 품질관리에서는 표준편차에 불편분산의 제곱근 를 많이 쓰는데 샘플의 크기 이 30이상이면 와 의 값이 큰 차가 없기 때문에 에 의해 표준 편차의 값을 잡아도 무방하다.

(15)

(라) 불편분산 :

편차제곱의 합을 그 자유도로 나눈 값, 는 모분산( )의 불편추정치로서 을 추정할 때 보다 이 값이 더 바람직하다.

(16)

이다.

(마) 불편분산의 제곱근 :

(17)

(바) 범위(range) :

범위 는 1조인 의 데이터 등의 최대치( )에서 최소치 ( )를 뺀 것을 말한다.

(18)

(사) 변동계수(coefficient of variation) : CV

시료표준 편차를 평균치로 나눈 양으로 보통 백분율로 표시한다.

(19)

(아) 상대분산(relative variance) :

앞의 설례 2에서 사용된 9개의 데이터에 대해 산포의 척도인 변동( ), 시료분산( ), 불편분산( ), 시료표준편차( ), 불편분산의 제곱근( ), 변동계수( CV ), 상대분산 , 범위( )를 각각 구하시오.

〔풀이〕

단,

(8) 상대분산(relative variance):